Demostración sobre limites - 2Epsilon

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Demostración sobre limites

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Dado $\lim_{n\rightarrow \infty }z_{n}=l,$ demuestre que

$\lim_{n\rightarrow \infty}Re \left \{{ z_{n} \right \} = Re \left \{ l \right \}$ y $\lim_{n\rightarrow \infty}Im \left \{{ z_{n} \right \} = Im \left \{ l \right \}$

preguntado por Felipe Oct 10, 2017

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Sea $z_{n}= x_{n}+iy_{n}$ y $l=l_{1}+il_{2}$ donde $x_{n}, y_{n}$ y $l_{1}, l_{2}$ son las partes reales e imaginarias de $z_{n}$ y $l$ , respectivamente.

Por hipotesis, dado $\epsilon > 0$ puede hallarse un $N$ tal que $|z_{n}-l|< \epsilon$ para $n > N$ , es decir,

$|x_{n}+iy_{n}-(l_{1}+il_{2})| < \epsilon$ para $n> N$

o bien,

$\sqrt{(x_{n}-l_{1})^{2}+(y_{n}-l_{2})^{2}} < \epsilon$ para $n> N$

De esto necesariamente se sigue que

$|x_{n}-l_{1}| < \epsilon$ y $|y_{n}-l_{2}| < \epsilon$ para $n> N$

es decir,

$\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=l_{1}$ y $\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}=l_{2}$

respondido por Andrea Oct 10, 2017

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